微积分习题

小王是大一的学生，想在寒假里强化一下微积分课程的学习，他从图书馆借了一套吉米多维奇的数学分析习题集。他决定在以后的 n 天里要做完上面的 S 道积分题。

为了能够尽快地完成任务，小王强迫自己第 i 天至少要做 a_i 道积分题。但是，小王在假期里还有其他事情（例如过春节），每天的题量不能太多，他估计了一下，第 i 天做的积分题不能超过 b_i （ b_i ≥ a_i ）道。

现在小王想知道，究竟能有多少种方案能够在 n 天里做完这 S 道习题呢？小王请你写个程序帮他算一算。

具体来说，一个方案就是每天做的微积分题的数目的序列，假设第 i 天完成 x_i 道题（ x_i 当然满足 a_i ≤ x_i ≤ b_i ，且 x ₁ +x₂+……+x_n=S ）。那么向量 (x₁, x_2, …, x_n) 就对应了一个方案。两个方案不同是指它们对应的向量不同。

【输入】

一共 n +1 行，第一行是两个整数 n 和 S ，用空格分开，分别表示天数和题目数（ 1 ≤ n ≤ 20 ， 1 ≤ S ≤ 1000 ）；接下来 n 行每行两个整数，之间用空格隔开，分别表示第 i 天对做题数量的限制 a_i 和 b_i （ 0 ≤ a_i ≤ b_i ≤ S ）。

【输出】

一个整数，表示满足条件的方案数 T 。

【输入输出】

 

#include <iostream> #include <iomanip> #include <vector> #include <algorithm> #include <functional> using namespace std;

class BigNum {  vector<int> val; public:  static const int NUM = 10000;  static const int WIDTH = 4;  BigNum(int n = 0);  friend ostream& operator << (ostream &out, const BigNum &n);  bool operator != (const BigNum &n) const {return val != n.val;}  BigNum& operator += (const BigNum &n2); }; BigNum::BigNum(int n /* = 0 */) {  do // 保证val至少有一个元素  {   int a = n / NUM;   int b = n % NUM;   val.push_back(b);   n = a;  } while(n > 0); }

BigNum& BigNum::operator += (const BigNum &n2) {  if (val.size() < n2.val.size()) // n2短   val.resize(n2.val.size());  transform(n2.val.begin(), n2.val.end(), val.begin(), val.begin(), plus<int>());  int lastAdd = 0;  for (vector<int>::iterator it = val.begin(); it != val.end(); ++it)  {   *it += lastAdd;   if (*it >= BigNum::NUM)   {    *it -= BigNum::NUM;    lastAdd = 1;   }   else    lastAdd = 0;  }  if (lastAdd == 1)   val.push_back(1);  return *this; } ostream& operator << (ostream &out, const BigNum &n) {  if (n.val.size() == 1)  // 只有一个数   return out << n.val[0];  out << n.val.back();  char c = out.fill('0');  for (vector<int>::const_reverse_iterator it = n.val.rbegin()+1;   it != n.val.rend(); ++it)   out << setw(BigNum::WIDTH) << *it;  return out << setfill(c); } #if 1 // 记录表法 const int MAX_N = 20; const int MAX_S = 1000; int n, S; int a[MAX_N], b[MAX_N]; BigNum T[MAX_N][MAX_S + 1] = { {0}}; // 记录表

BigNum Cal(int day, int done, int min, int max) {  int left = S - done;   // 还有多少题要做  if (left < min || left > max) // 超出可能的做题范围   return 0;     // 方案必不成功，部分方案数为0  if (day == n - 1)    // 最后一天，方案必然可能   return 1;     // 部分方案数为1，递归终止

 if (T[day][done] != 0)   // 已经计算过   return T[day][done];  BigNum total = 0;    // 部分方案数  for (int t = a[day]; t <= b[day]; t++)   // 枚举   total += Cal(day + 1, done + t, min-a[day], max-b[day]); // 递归计算  T[day][done] = total;   // 记录下来  return total; }

int main() {  // 读入数据  cin >> n >> S;  for (int i = 0; i < n; i++)   cin >> a[i] >> b[i];

 int min = 0, max = 0;  // 最少和最多做题数量  for (int i = 0; i < n; i++)  {   min += a[i];   max += b[i];  }  cout << Cal(0, 0, min, max) << endl;  return 0; }

#else // 动态规划算法 const int MAX_N = 20; const int MAX_S = 1000; int n, S; int a[MAX_N], b[MAX_N]; BigNum fa[MAX_N][MAX_S+1];

int main() {  // 读入数据  cin >> n >> S;  for (int i = 0; i < n; i++)   cin >> a[i] >> b[i];

 int leftMin = 0, leftMax = 0; // 还剩下的天中最少和最多做题数  for (int i = 0; i < n; i++)  {   leftMin += a[i];   leftMax += b[i];  }

 // 第0天  int realMin = a[0], realMax = b[0]; // 到当前天为止，最少和最多做题数  leftMin -= a[0]; leftMax -= b[0];  if (realMin < S - leftMax) realMin = S - leftMax;  if (realMax > S - leftMin) realMax = S - leftMin;  for (int t = realMin; t <= realMax; t++)   fa[0][t] = 1;

 for (int day = 1; day < n; day++)  {   realMin += a[day]; realMax += b[day];   leftMin -= a[day]; leftMax -= b[day];   if (realMin < S - leftMax) realMin = S - leftMax;   if (realMax > S - leftMin) realMax = S - leftMin;

  for (int tall = realMin; tall <= realMax; tall++) // 对于总题量    for (int t = a[day]; t <= b[day] && t <= tall; t++)     fa[day][tall] += fa[day-1][tall-t]; // 累计之前的可能方案数  }  cout << fa[n-1][S] << endl;  return 0; } #endif